Оригинал статьи

Josef Hasslberger
3 Февраля 1996

Четырех координатное пространство

Тетраэдр – базовая система пространственных координат

Мы живем в период такого подавляющего принятия декартовой системы координат, основанной на трех рассположенных под 90 градусов осях, что можно рассматривать как интеллектуальное самоубийство, или по крайней мере опасный и эксцентричный поступок, чтобы говорить и поддерживать альтернативные системы координат, такая другая система должна иметь значительные преимущества над той которая является сейчас общепринятой. Все же, такая альтернативная система была обнаружена и доступна для исследования и использования.

Декарт (Renй Descartes), чье четырехсотлетие со дня рождения мы празднуем в этом году, сделал потрясающий вклад в науку и философию, представил новые рассуждения, там где авторитет имел доминирующий фактор в то время. Мы будем касаться здесь только одной из его многих заслуг - представление рациональной системы координат для определения точного положения любого объекта внутри известного пространства.

Согласно анекдоту Декарт изобрел теперь используемую систему координат, наблюдая и размышляя о беспорядочном полете мухи в своей комнате и осознал, что, если бы он смог определить расстояние к каждой из трех "осей", сформированных одним из прямоугольных углов комнаты, он мог быть уверен в ее точном положении, и что последовательность таких координат определит другими словами невидимые кривые, отмечающие траекторию мухи. Хотя мы не можем убедиться в его справедливости, этот анекдот пережил столетия, кажется разумно предположить, что декартова (Cartesian) система координат была фактически основана на геометрии строений, которая является распространенной до наших дней, то есть прямоугольная конфигурация большинства зданий и внутренних комнат.

R. Buckminster Fuller, с другой стороны, жил несколько ближе к настоящему времени чем Декарт (Descartes); он умер в 1983 в возрасте 87. Подобно Декарту, Фуллер сделал большой вклад в науку и философию. Он вероятно больше всего известен за свое изобретение геодезического купола, структура связанных треугольных (triangularly) элементов, который имеет лучшее отношение веса к внутреннему пространству любого искусственного строительства, пока развитого. Немного раньше, Фуллер получил множество публичных признаний за предсказание его геометрией существования сферических молекул. Экспериментально открытым молекулам фулерена (Buckminsterfullerene) - сферических и необычно устойчивых большых молекул углерода, всего несколько лет.

Геометрия Фуллера вышла под названием синергетика (Synergetics) и была развита на экспериментальных наблюдениях поведения сфер равного диаметра, упаковка которых была плотной настолько насколько возможно, чтобы формировать регулярные геометрические фигуры. Основная и наиболее простая устойчивая геометрическая конфигурация синергетической геометрии – тетраэдр (tetrahedron), сформированный из четырех сфер прижатых друг к другу, в совершенной конфигурации треугольников, формирующих четыре угла в 60 градусов (рис. 1). Другие важные элементы – октаэдр (octahedron) (сформированный шестью плотно-упакованными сферами) и эквилибриум (equilibrium)- векторное равновесие, который является результатом соединения двенадцати сфер, выложенных вокруг тринадцатой центральной сферы, с всенаправленной максимально плотной упаковкой, под 60 градусов скоординированная конфигурация.

Куб, который является базой для наших современных методов строительства и x-y-z декартовая система координат, не является само устойчивой конфигурацией. Восьми сферам, формирующим куб присуща неустойчивость. Чтобы получать устойчивость, им нужно исскусственно придать устойчивость, связывая между сабой подобно тому, как связан тетраэдр. Таким образом, два тетраэдра из четырех сфер каждый, соединенные в соответствующих центрах, формирует один куб из восьми сфер.

Так случается, что эта геометрия, которую создал Фуллер, находится в совершенном согласии с тем, как растут кристаллы в их различных формах, а их применение в инженерных конструкциях показывает нам возможность очень эффективных структур в целях экономии сырья и сил для строительства.

Теперь, как могут быть использованы открытия Фуллера при формировании системы координат и почему мы должны рисковать решая эти задачи, видя что декартовы x-y-z координаты сослужили совершенную (или почти совершенную) службу в течение такого долгого времени?

По одной причине - декартовы координаты может быть удобны как математические конструкции, но они соответствуют путям Природы не больше чем современная химия, в состоянии когда-либо воспроизвести живые организмы.

Если мы используем координаты x-y-z не для ориентации в известном замкнутом пространстве (так как делал Декарт), а в пространстве с неизвестным протяжением, если, другими словами, наша система из трех осей не формирует один из углов известного пространства, а эта точка происходит из пространства, простирающегося во всех направлениях, первоначальных трех осей больше не достаточно для ориентации. Мы должны удвоить систему, добавляя зеркальное изображение из трех осей, чтобы быть в состоянии описать место “с другой стороны угла” (рис.2).

Обычно мы не думаем об этом действии как удвоение осей, поскольку мы просто назначаем отрицательные значение с одной стороны и положительные значения с другой. Но строго говоря, мы теперь имеем шесть осей: плюс X и минус X, плюс Y и минус Y, также как плюс Z и минус Z. Фактически плюс и минус части каждой оси похожи на одну непрерывную ось, но это не оправдывает рассмотрение их, как одну ось. Фактически, с целью ориентации, мы должны определить, располагаем ли мы чем либо на плюс или на минус оси, даже если мы приняли делать так, рассматривая положительные числа, чтобы принадлежать к плюс оси и отрицательные к минус оси. Так что фактически мы имеем шесть осей, чтобы рассмотреть и чтобы расположить объект в пространстве, мы должны определить положение относительно трех из шести осей.

Это как раз то, где синергетическая геометрия Фуллера предлагает путь чрезвычайного упрощения нашей задачи. Если мы решим уменьшить число осей с шести до четырех, взяв основную и наиболее простое устойчивую геометрическую фигуру тетраэдр, как нашу точку отсчета, мы можем располагать любую точку в пространстве, определяя ее положение по отношению к трем из четырех (не три из шести!) осей точки отсчета. Четыре оси отсчета в этой системе координат - оси, которые проходят через каждую вершину тетраэдра, пересекаясь в средней точке (midpoint) и проходя через середину каждого из треугольников напротив этих вершин (рис. 3). Эти оси скоординированы с между собой под углами 109 градусов 28 минут. Четыре из них представляют минимальный набор осей отсчета, исходящих из общей начальной точки, необходимых для определения всех возможных направлений в физическом пространстве.

Чтобы сделать эту концепцию более ясной и позволять применять ее как инструмент для мгновенной и интуитивной ориентации в пространстве, я развил систему цветового кодирования, которая объединяет эти основанные на тетраэдре космические координаты с в настоящее время широко используемым методом цветового разделения для целей печати, так называемого процесса разделения цвета CMYK..

CMYK (Голубой (cyan)-Красный (magenta)- Желтый - Черный) - четыре цвета, используемые в настоящее время при печати. Комбинация из этих четырех цветов в различных процентах создает большое количество различных цветов в почти бесконечность непрерывных оттенков. При назначении одного из основных цветов к каждому из четырех осей тетраэдра, и смешивая их с другими осями, мы получаем фактически уникальный цвет для каждого из тысяч или миллионов возможных направлений, которые мы можем захотеть немедленно выделить. Естественно мы можем также выражать направление в выражениях градусов, минут и секунд дуги относительно трех самых близких осей.

Часть этой статьи содержит напечатанную версия тетраэдра, вырезаный и склеенный вместе он красиво иллюстрирует этот принцип.

Система координаты этого вида, соответственно развитого и очищенного, может использоваться с успехом в астрономии, в навигации (особенно космической навигации), в голографическом представлении изображений, в электронно информационном хранении на кристаллах и возможно целый диапазон других еще не мыслимых видах деятельности.

Используя ее мы преобразовываем наши четыре направления ориентации на земле (восток- запад – север- юг) в четыре направления ориентации в пространстве. Мы должны развивать и использовать этот инструмент, если мы всерьез намерены расширить наше влияние в планетарное или межзвездное пространство, не только в смысле наблюдения, но также исследования и навигация.

Один последний комментарий относительно концепций мерности 'измерений', которые, кажется, не очень хорошо понимаются в текущем научном моменте.

Мы приучены называть физическую вселенную - трехмерная вселенная. Учебники и энциклопедии сообщают нам, что пространство имеет три измерения, без того, чтобы рассматривать, что число измерений мы назначаем в пространстве, зависит только от вида геометрического отсчета, который мы используем. Я с искушением хотел сказать, что первым моментом при рассмотрении тетраэдрических космических координат, очевидно что пространство должно иметь четыре измерения. Но это дало бы ту же самую ошибку как все наши текущие авторитетные учения.

Пространство фактически имеет только одно 'измерение', которое мы можем также называть 'расширение'. Оно простирается одинаково во всех направлениях. Не имеет значение, сколько направлений мы вводим в обращение в наших системах ориентации, три, четыре, шесть, возможно десять. Мы все равно рассматриваем то же самое пространство. Термин трехмерный имеет так же мало физического смысла, как термин, четырех-мерный или n-мерный. Измерения, в конце концов, имеют только значение удобного инструмента для выражения в математических терминах особой точки зрения или попытки постигать действительность того, что мы называем пространство.

Литература:

1. Fuller, R. Buckminster "Synergetics", 1982, Macmillan Publishing Company, 866 Third Avenue, New York, N.Y. 10022

2. Fuller, R. Buckminster "Cosmography", 1991, Macmillan Publishing Company

С автором можно связаться по следующему адресу:

Rampa Brancaleone 25, 00165 Rome - Italy. Telephone ++396 6374160
fax ++396 632196 (e-mail: sepp@lastrega.com)